KHAKEAT MATEMATIKA

Pengertian Matematika:

Beberapa definisi tentang matematika:

1. Matematika terorganisasikan dari unsure-unsur yang tidak didefinisikan, definisi, aksioma(postulat), teorema(dalil). (Russefendi: 1988)

2. Matematika adalah ilmu tentang logika, mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan lainnya. (James and james: 1976)

3. Matematika adalah pola berpikir, pola mengorganisasikan, pembuktian yang logis. Matematik adalah bahasa yang menggunakan istilah yang didefinisikan dengan cermat, jelas, akurat representasinya dengan symbol dan padat, lebih berupa bahasa symbol mengenai ide daripada mengenai bunyi. Matematika adalah pengetahuan struktur yang terorganisasi, sifat-sifat dalam teori-teori dibuat secara deduktif berdasarkan kepada unsure yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya adalah ilmu tentang keteraturan pola atau ide, dan matematika itu adalah suatu seni, keindahannya terdapat pada keterurutan dan keharmonisannya. (Johnson and Rising: 1972)

4. Matematika adalah telaah tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat. (Reys-dkk:1984)

5. Matematika itu bukan pengetahuan menyendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi adanya matematika itu terutama untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan social, ekonomi, dan alam. (Kline:1973)

Berdasarkan definisi-definisi di atas, maka pada hakekatnya matematika itu adalah:

1. Matematika adalah ilmu dedukif

Dikatakan deduktif karena proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan yang lain. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu dapat diterima kebenarannya sesudah dibuktikan secara deduktif.

Contoh:

Bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil adalah bilangan genap

Bukti secara deduktif:

Misal a dan b adalah bilangan ganjil

Maka sesuai pola bilangan ganjil  a = 2m – 1, mÎA

 b = 2n – 1, nÎA

a + b = 2m – 1 + 2n – 1

  = 2m + 2n -2

   = 2(m + n -1)

Karena m, n Î A, maka m + n – 1 Î A sehingga 2(m + n -1) adalah bilangan bulat

Jadi bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan genap.

2. Matematika adalah ilmu terstruktur

Matematika dikatakan ilmu terstruktur karena matematika dimulai dari unsure yang tidak didefinisikan, kemudian unsur yang didefinisikan, ke aksioma/postulat, dan akhirnya pada teorema. Konsep-konsep matematika tersusun secara hierarkis, terstruktur, logis dansistematis mulai dari konsep yang paling sederhana sampai pada konsep yang paling kompleks.

Struktur matematika adalah sebagai berikut:

a. Unsur-unsur yang tidak didefinisikan: titik, garis, lengkungan, bidang, bilangan, dll.

b. Unsur-unsur yang didefinisikan: sudut, persegi panjang, segitiga, lengkungan tertutup, bilangan ganjil, dll

c. Aksioma dan postulat

Misal:

-  melalui dua titik sebarang hanya dapat dibuat satu garis

-  semua sudut siku-siku satu dengan lainnya sama besar

-  melalui sebuah titik hanya dapat dibuat sebuah garis yang tegak lurus ke sebuah garis yang lain.

d. Dalil atau teorema

 Misal:

- jumlah dua bilangan ganjil adalah genap

- jumlah ketiga sudut pada sebuah segitiga sama dengan 180^o

- jumlah kuadrat sisi siku-siku pada sebuah segitiga siku-siku sama dengan kuadrat sisi miringnya

3. Matematika adalah ilmu tentang pola dan hubungan

Matematika dikatakan ilmu tentang pola karena pada matematika sering dicari keseragaman seperti keterurutan, keterkaitan pola dari sekumpulan konsep-konsep tertentu atau model yang merupakan representasinya untuk membuat generalisasi.

Contoh: 

jumlah n bilangan ganjil selamanya sama dengan n²

Dari contoh di atas dapat dibuat generalisasi yang berupa pola yaitu: jumlah n bilangan ganjil yang berurutan sama dengan n²

Matematika dikatakan ilmu tentang hubungan karena konsep matematika satu dengan lainnya sling berhubungan.

Misal: antara persegi panjang dengan balok, kerucut dengan lingkaran, 5 x 6 = 30 dengan 30 : 5 = 6.

Demikian cabang matematika satu dengan lainnya saling berhubungan.

Misal, aritmetika dengan aljabar, geometri , statistik dengan analisis.

4. Matematika sebagai ratu dan pelayan ilmu

Matematika sebagai ratu ilmu artinya matematika sebagai alat dan pelayan ilmu yang lain.

Kegunaan Matematika:

1. Matematika sebagai pelayan ilmu lain.

Banyak ilmu-ilmu yang penemuan dan pengembangannya bergantung dari matematika.

2. Matematika digunakan untuk memecahkan masalahnya dalam kehidupan sehari-hari.

Soal:

1. Karena dalili-dalil dalam matematika kebenarannya harus dibuktikan secara deduktif. Apakah pemahaman dalili-dalil pada matematika di SD harus dilakukan secara deduktif juga? Jelaskan!